Page 178 - 2589

2  0
A  .
 
 0 2 
Матриця A має одне характеристичне значення   2

At
кратності 2. Отже, e   (t ) E  (t ) A, де  (t ) і  (t ) такі, що
0 1 0 1
e 2t   (t )  2  (t ),
1
0
 2t
 te   (t ),
1
звідси

t 2
 ( t)  1 (  2 t) e
0
t 2
 ( t)  te
1
Отже,

1  0 2  0
e t A  1(  2t )e 2t  te 2t ,
   
 0 1   0 2 

або

e t 2 0 
e A t   t 2  .
 0 e 

Слід відмітити, що, хоча значення  (t ) було знайдене, воно
1
не пригодилося, оскільки

2t
 (t )  e  2 (t )
0 1
і член  (t ) скоротився при знаходженні остаточного розв’язку.
1
Це трапилося тому, що відповідний інваріантний простір
двовимірний. З розкладання

1  0  1  0
e t A  e 2t    e 2t   1 ( ) 0  e 2t   0 ( ) 1
 0 1   0   1 
витікає, що у якості власних векторів можна взяти вектори

  1   0
о  і о  .
1   2  
 0   1 

t A
Приклад 6.24: Знайдемо функцію e , де
2  1
A  .
 
 0 2 

Легко перевірити, що

178