Page 177 - 2589

Таким чином, матриця з кратним власним значенням може
мати більше, ніж одну жорданову клітку, відповідну цьому
власному значенню. Насправді, якщо розмірність спільного

розв’язку о рівняння

( A E ) о 0

дорівнює r , то є r жорданових кліток, відповідних власному
значенню . Ми не доводитимемо це твердження, оскільки
будуть запропоновані прості способи обчислення жорданової
форми.

Для випадку кратних власних значень рівняння, що
відповідають співпадаючим власним значенням, не є
незалежними, і для знаходження розв’язку слід провести

додаткове дослідження. Розгледимо два «близькі» власні
значення  і   . Тоді

f (   )     (   )    (  )  n  1
0 1 n  1
і

n

1
f ( )          .
0 1 n  1
Отже,
f (   )  f ( )
lim   f ( )

  0
і ми отримуємо співвідношення, незалежне від первинного
рівняння. У загальному випадку, якщо  – власне значення
1
кратності k , то, беручи перші k 1 похідну правої і лівої частин
рівняння


1
n
f ( )         ,
l 0 1 l n  1 l
по , отримуємо додаткові k  1 рівняння. Зокрема, якщо
t A
f A )( e , маємо

1

n
l
e  t   (t )  (t )    (t ) ,
0 1 l n  1 l
n

2
te  t   (t )  2 (t )   ( n ) 1  (t ) ,
l
1 2 l n  1 l
l
t 2 e  t  2 (t )  6 (t )   (  n 1 )( n ) 2  (t ) n  3 .
2 3 l n  1 l

t A
Приклад 6.23: Знайдемо функцію e де

177