Page 106 - 2589

шість схем описуються лінійними рівняннями алгебри з
постійними коефіцієнтами вигляду

y (t )  cx (t ) du (t ), (5.4)

де с і d – речовинні скалярні константи, а у(t)(i(t) або v(t)
відповідно) – вихідна змінна. Отже, розв’язки рівнянь (5.3) і (5.4)
достатньо, щоб визначити розв’язок для всіх описаних вище

систем.
Істотно відзначити, що диференціальними рівняннями
першого порядку можна описати не тільки багато простих
електричних і механічних систем, але і інші фізичні явища.

Наприклад, процеси, що включають хімічні реакції або складання
сумішей, часто описуються співвідношеннями першого порядку.

Приклад 5.3: У резервуар, що містить V літрів води,

поступає розчин солі концентрацією k грамів на літр з
постійною швидкістю v літрів в хвилину. Суміш витікає з
резервуару з тією ж швидкістю. Однорідність суміші

забезпечується перемішуванням. Визначити кількість солі, що
міститься в резервуарі, у будь-який момент часу t 0. Хай (tx )

позначає кількість солі у момент t. Збільшення кількості солі
задовольняє рівнянню

v
x (t  )  x (t ) kv . (5.5)
V

і, оскільки нас цікавить кількість солі e момент t

y (t )  x (t ). (5.6)

Відзначимо, що вирази (5.5) і (5.6) аналогічні виразам (5.3) і
(5.4) відповідно.

Системи, розглянуті вище, інваріантні щодо зсуву часу
(стаціонарні); це дозволяє описувати їх диференціальними
рівняннями з постійними коефіцієнтами. Тепер розглянемо
декілька прикладів лінійних нестаціонарних систем першого

порядку, які можна описати диференціальними рівняннями із
змінними коефіцієнтами вигляду

x  (t ) a (t )x (t ) b (t )u (t ). (5.7)

106