Page 103 - 2589

6 ДИНАМІЧНІ СИСТЕМИ ПЕРШОГО ПОРЯДКУ

6.1 Приклади систем першого порядку

Опис за допомогою змінної стану дозволить представити
багато фізичних систем відповідними співвідношеннями
диференціальних рівнянь першого порядку виду

x  (t )  f (x (t ),u (t ),t )

і сукупністю функціональних співвідношень виду

y (t )  g (x (t ),u (t ),t ),

де t – час, u(t) – вхідні змінні, у(t) – вихідні змінні системи і x(t) –
змінні стану.

Розглянемо систему із заданими вхідними і вихідними
змінними. Перша з виникаючих при цьому задач полягає у виборі
змінних стану і отримання співвідношень, що є функціями f і g.
Друга задача, природно, полягає в тому, щоб розібратися в

математичному значенні цих виразів. Використання рівнянь для
змінних стану при моделюванні фізичних систем дає можливість
вивчати ці системи на єдиній математичній мові.

Таким чином, нас в першу чергу цікавитимуть проблеми
отримання рівнянь для змінних стану даної фізичної системи, а
потім їх якісне і кількісне дослідження. Почнемо з найпростіших
систем першого порядку; їх уявлення виявляється якнайменш

громіздким і дозволяє поступово освоїти методику моделювання
і математичного аналізу систем загального вигляду.
Багато фізичних систем можуть бути описані

диференціальними рівняннями першого порядку які називаються
системами першого порядку. Вони важливі не тільки самі по
собі, але і тому що іноді поведінку складніших систем можна

оцінити виходячи з уявлення їх співвідношеннями першого
порядку.
Приклади, розглянуті нижче, дають можливість ближче

познайомитися з системами першого порядку і проілюструвати їх
вживання на практиці.

Приклад 5.1: Розглянемо падіння точкового тіла з масою т
(рис.5.1) у в'язкому середовищі з опором, пропорційним

швидкості x(t). На тіло діють дві зовнішні сили: сила тяжіння mg і
сила опору середовища – k  x (t ) . Якщо позначити через d
відстань від тіла до деякого заданого положення, то рівняння

103