Page 169 - 256_

2 2
 u  u  G* u, u  z u ,
T T T T T
де
1  € 1 
  1  inf Re G ( jw )   . 0
K w   K  
1 
Отже, отримаємо u  z і не залежить від Т.
T  T
Оскільки, z  L 2 , 0 (  ) то u  L 2 , 0 (  ). Зараз ми використаємо
припущення, що імпульс відповідає G  L 1 , 0 (  ) і функції
u  L 2 , 0 (  ). Крім того з рівняння (5.13) і з теореми (5.14),
одержимо наступну нерівність

y  z  u  u  G (t ) dt
0
і отже  Ly 2 , 0 (  ).
Розглядаючи (5.13) ми приходимо до наступної
нерівності
y (t )  y (t )  (G *u )(t , ) t  . 0
1 2 2
Таким чином, G  L , 0 (  ) , u  L , 0 (  ), z  L , 0 (  ) , z(t) є
обмежена і lim z (t )  0 і тому y(t) є також обмеженим і прямує
t  
до нуля коли t  .
Зараз повернемося до доведення Теореми 1.
Еквівалентна система, тобто (5.7)-(5.8) відрізняється від
системи, розглянутої в Лемі 1 тільки записом. Тобто в
Теоремі 1 маємо у(t), z(t), G(t) і керування u(t), що знаходиться
2
в просторі L (0,T), 0(  T   ), сектор умови [0,K]. В системі
(5.7)-(5.8) маємо e 1(t), z 1(t), і G 1(t), відповідно, і керування
2
 (t ), що знаходиться в L (0,T) сектор умови [0,1]. Оскільки
1

0  q 1   і 0 q 2   або q 2=0, відповідно до табл. 5.1, тоді
2
поліном N € (s )  1 q  1 s q 2 s має в будь-якому випадку два
корені з від’ємними дійсними частинами. Функція e(t) є
рішенням диференційного рівняння

27