Page 168 - 256_

1) G  L  1 , 0 (  ) L 2 , 0 (  ), VarG  , 
, 0 [  )
2) z  L 2 , 0 (  ),z (t )є обмеженою, і lim z (t )  , 0
t  
 € 1 
3) частотна умова inf Re G ( jw )    , 0

w  K 
задовольняються, тоді існує константа С, що є незалежною від
Т і z(t), така, що будь-який розв’язок системи (5.13)-(5.14)
задовільняє в просторі L 2 , 0 ( T ) (для T   ) наступну нерівність
u  C z .
Крім того, всі розв’язки у(t) є такі, що: y  L 2 , 0 (  ), y (t ) є
обмеженою, і lim y (t )  . 0
t  
Доведення леми 1: Перше ми доведемо, що u  C z і
константа С не залежить ні від Т ні від z(t).
Позначимо скалярний добуток і нормаль в
просторі
2
L (0,Т) наступним чином:
T

x, y  x( t) y( t) dt, u  x , y .
T T T
0
Для T   індекс Т в скалярному добутку або в нормалі може
бути опущений. Після скалярного множення обох сторін
інтегрального рівняння (5.13) на u, стосовно нерівності (5.14)
ми отримаємо
1 2
u   G *u ,u  z ,u   G *u ,u  z u , (5.15)
K T T T T
де символ “*” означає інтеграл згортки. Вважаємо, що
2 1 2
u  L , 0 ( T ). Оскільки G  L , 0 (  )  L , 0 (  ), то одержимо наступні
нерівності
2 2
G *u ,u   1 u , u  L , 0 ( T ),T  , 0 (5.16)
T T
де  1  inf Re  ( jwG €  ) . Перетворюючи нерівність (5.15) і беручи в
w
розрахунок (5.16), ми дістанемо

26