Page 108 - 256_

реальні системи є нелінійними і тільки приблизно деякі з них
можна описати лінійними рівняннями. Чи можна за стійкістю
лінеаризованої системи судити про стійкість вихідної
нелінійної системи? Це питання було вирішене
А.М.Ляпуновим, який сформулював свої знамениті теореми
про стійкість лінеаризованих систем. Ці теореми звучать так:
1) Якщо лінеаризована система стійка, то стійка і
вихідна нелінійна система
2) Якщо лінеаризована система нестійка, то нестійка і
вихідна нелінійна система
3) Якщо лінеаризована система знаходиться на межі
стійкості, то для визначення стійкості вихідної
нелінійної системи необхідно провести додаткові
дослідження за вихідними нелінійними рівняннями
системи.
Таким чином, теореми Ляпунова дозволяють
стверджувати про стійкість нелінійної системи за лінійним
рівнянням. І тільки в окремих випадках, коли аналіз лінійного
рівняння покаже, що лінеаризована система знаходиться на
межі стійкості, потрібні додаткові дослідження. Дійсно,
автоматичні системи, що використовуються на практиці,
повинні бути не тільки стійкими, але й мати певний запас
стійкості, тобто повинні знаходитися на деякій відстані від
межі стійкості. В противному разі при незначній зміні
параметрів система може стати нестійкою і непридатною для
подальшої роботи. Тому вузька зона, перехід якої переводить
лінеаризовану систему із стійкої в нестійку, включає в себе
також межу стійкості вихідної нелінійної системи.
Ми показали, що необхідною і достатньою умовою
стійкості лінеаризованих, а отже, і вихідних нелінійних
автоматичних систем, є від’ємність істотних частин всіх
коренів їх характеристичних рівнянь. Отже, для визначення
стійкості системи прийдеться вирішувати її характеристичні
рівняння, щоби визначити знаки коренів останнього.
Аналітичний розв’язок алгебраїчних рівнянь 3-го і 4-го

103