Page 106 - 256_

величини , а з рівняння (4.1) – що початкові умови при цьому
відрізняються від нуля, але не перевищують деяке значення ,
яке залежить від вибраного значення .
Якщо виконується умова     , то система
називається безмежно стійкою, тобто вона буде стійкою при
будь-яких початкових відхиленнях. Якщо система стійка при
   a і нестійка при   a , то вона є стійкою в малому і
нестійкою у великому (при   a ). Якщо виконується
умова lim X t ) (  0 , то система називається асиметрично
t  
стійкою.
Розглянемо, як можна математично оцінити стійкість
лінійної автоматичної системи.
Вільний рух лінійної системи описують лінійним
однорідним диференціальним рівнянням
n n  1
d x d X d X
a n  a n  1  ...  a 1  a 0 X  0
dt n dt n  1 dt (4.3)
k
d  X
з початковими умовами   X  k  0 , де k  2 , 1 , 0 ,..., n 1
dt k
– порядок похідної.
Розв’язок цього рівняння являє собою суму членів
n
X   t  C k e p k t , (4.4)
k 1
де p – корені характеристичного рівняння
k
a p n  a p n 1   ... a p  a  0 , (4.5)
n n 1  1 0
C – постійні інтегрування, що залежать від початкових умов
k
 X *  0 k,  0, 1, 2,..., n  1
.
Щоби система була стійкою, рівняння (4.4) повинно
задовольняти умову
n
lim  X    limt  C k e p k t  0
t   t   k 1 . (4.6)

101