Page 107 - 256_

Корені характеристичного рівняння (4.5) в загальному
випадку можуть бути суттєвими і комплексно спряженими.
Нехай перших буде S, а других – n-S. Тоді розв’язок (4.4)
можна представити у вигляді
S  Sn  2
 X   t  C  e p  t   C k e  k t sin  k t  k 
 1 k 1 . (4.7)
Розглянемо, як будуть змінюватись складові рівняння
(4.7) при t   залежно від значення коренів. Якщо всі
S
істотні корені p від’ємні, то lim  C e p  t  0 , так як кожна із
 
t  
 1
складових при p  0 являє собою експоненту, що

зменшується. Якщо істотні частини  k всіх комплексних
 Sn  2
коренів від’ємні, то lim  C e  k t sin  t    0 , оскільки
t   k k k
k 1 
кожен із складників являє собою затухаюче коливання. Таким
чином, якщо в характеристичному рівнянні всі істотні частини
комплексних коренів та прості корені від’ємні, то
lim X   0t і система буде стійкою. Якщо хоча б один з
t  
істотних коренів або істотна частина пари комплексних
коренів буде додатним, то відповідні їм складові в загальному
t
розв’язку (4.7) C e і C e  t k sin  t    з часом будуть
P 
 k k k
нескінченно зростати, і система буде нестійкою.
Таким чином, необхідною і достатньою умовою
стійкості лінійної системи автоматичного керування є
від’ємність істотних частин всіх коренів її характеристичного
рівняння. Якщо істотна частина хоча б одного кореня
дорівнює нулю, а істотні частини інших коренів – від’ємні, то
система знаходиться на межі стійкості. За наявності кратних
коренів з нульовими істотними частинами система буде
нестійкою.
Отже, ми встановили необхідну і достатню умову
стійкості лінійних автоматичних систем. Але майже всі

102