Page 109 - 256_

порядків потребує багато часу, а рівняння 5-го і більш
високих порядків аналітично взагалі не вирішуються.
Тому виникає запитання, як визначити знаки істотних
частин коренів характеристичного рівняння, а отже, і
визначити стійкість системи, не вирішуючи характеристичне
рівняння.
Цим питанням займалось багатовчених. В результаті
досліджень були сформульовані умови стійкості у вигляді так
званих критеріїв стійкості. Перш за все було встановлено, що
необхідною умовою стійкості системи є додатність всіх
коефіцієнтів її характеристичного рівняння, для систем
третього і більш високих порядків – є лише необхідною, але
недостатньою умовою стійкості систем.
Які ж умови є не тільки необхідними, але й достатніми
для стійкості системи? Які вихідні дані необхідні для
визначення, чи виконуються ці умови?
Умови стійкості формулюються у вигляді різних
критеріїв стійкості, кожен з яких використовують залежно від
того, якими вихідними характеристиками і даними володіють.
Якщо відомі диференціальні рівняння системи, то частіше
використовують алгебраїчні критерії стійкості.

4.3 Алгебраїчні критерії стійкості

Перший алгебраїчний критерій, який можна
використовувати для системи 3-го порядку, був
сформульований І.А.Ви-шнеградським в 1876 р.:
для стійкості лінійної системи з характеристичним рівнянням
a p 3  a p 2  a p  a  0
3 2 1 0
необхідне виконання двох умов:
1) всі коефіцієнти характеристичного рівняння повинні бути
додатними;
2) похідна середніх коефіцієнтів повинна бути більша від
похідної крайніх
a a  a a .
1 2 0 3

104