Page 92 - 203_

переміщеню матеріальної точки вздовж осі Ох із точки x=a в точку x=b(a<b). Функція F(x)
припускається неперервною на відрізку  ba, .
Розіб’ємо довільним чином відрізок [a,b] на n частин точкоми
a=x 0<x 1<x 2<…<x i-1 <x i<…<x n=b. Виберемо на кожному відрізку x , x  точку  . Сила, яка
i 1 i i
діє на матеріальну точку на відрізку x , x , змінюється від точки до точки. Але якщо
i 1 i
довжина відрізка мала, то значення сили в точках відрізка x , x  мало відрізняється від її
i 1 i
значення в будь-якій точці   x , x , оскільки F(x) неперервна. Тому роботу A , яку
i i 1 i i
здійсює сила F на x , x . Можна вважати наближено рівній роботі, яку здійснює на тому ж
i 1 i
відрізку стала сила  F  , тобто
i
A  F   x .
i i i
Проводячи аналогічні міркування для кожного відрізка розбиття, одержимо наближене
значення роботи A сили F на всьому відрізку
n
A   F  x i i .
 i 1
З іншого боку, сума в правій частині рівності є інтегральною сумою для функції F(x) .
Оскільки функція F(x) неперевна на [a,b] , то границя цієї суми при  max  x i 0 існує і
1  ni
дорівнює визначеному інтегралу від функції F(x) на відрізку [a,b]. Таким чином
n b
A  lim  F   x  i i  F  dxx .
 0
i1 a
Приклад 1. Визначити роботу A ,необхідну для запуску тіла масою m з поверхні Землі
вертикально вверх на висоту h.
Позначимо через F силу притягання тіла Землею. Нехай M - маса Землі. За законом
3
mM
Ньютона F  G 3 , де х – відстань від тіла до центра Землі.
x 2
Покладемо GmM  K , одержимо
3
K
 xF  , R  x  h  , R де R - радіус Землі. При R  сила  RF дорівнює вазі тіла
x
x 2
K 2 PR 2
P  mg , тобто  P , звідки K  PR  xF  . Таким чином одержимо
R 2 x 2
R h R h dx 1 R h PRh
A   F  dxx  PR 2  2   PR 2  .
R R x x R R  h

10.2 Координати центра мас.
Нехай на площині задана система матеріальних точок xP y ,  xP, y , , P , x , y  з
1 1 1 2 2 2 n n n
масами m , m , , m .
1 2 n
Добутки mx і my називають статичними моментами маси m відносно осей Oy і Ox .
i i i i i
Позначемо через x і y координати центра мас даної системи. Ці координати
c c
визначаються за формулами
n
 x m
x m  x m   x m i i
x  1 1 2 2 n n   i 1 . (10.1)
c n
m  m   m
 m i
1 2 n
 i 1