Page 88 - 203_

Рис.6
a 2 2 a 2 2 2 a 2 2 1 cos 2 3
2
2
S   1 (  cos ) d   d  a 2  cos d   d   a
2 2 2 2 2
0 0 0 0
9.2. Об’єм тіла обертання.
Нехай функція (xf ) неперевна і невід’ємна на відрізку [a,b]. Знайдемо об’єм тіла, яке
утворюється обертанням навколо осі Ох криволінійної трапеції, які обмежена зверху
графіком функції (xf ) .
Розіб’ємо довільним чином відрізок [a,b] на n частин точкоми
a=x 0<x 1<x 2<…<x i-1 <x i<…<x n=b.

Рис.7
На кожному відрізку побудуємо прямокутник(рисю.7). При обертанні [x i-1 ,x i] навколо осі Ох
кожний прямокутник опише циліндр. Знайдемо об’єм і-го циліндра, який має висоту
x  x  x і радіюс y  f (x )
i i 1  i i 1  i
V  f  2 (x ) x
i i 1 1
Сума об’ємів всіх циліндрів наближено дорівнює об’єму даного тіла обертання
n
2
V    f ( x ) x .
i
 i 1
 i 1
b
2
З іншого боку, ця сума є інтегральною сумою для інтеграла   f ( x) dx . Оскільки функція
a
f 2 (x ) неперевна на [a,b] , то границя цієї суми при  max  x 0 існує і дорівнює
1  ni i
b
2
визначеному інтегралу   f ( x) dx .
a
Таким чином,
n b
2
2
V  lim   f ( x ) x   f ( x) dx . (9.3)
 0  i 1 i
 i 1 a
Приклад 4. Знайти об’єм еліпсоїда обертання (навколо осі Ох).