Page 87 - 203_

Рис.4

  2
0 2 2  1 
S  4  bsin t( acos t  ) dt  4 ab sin 2 tdt  2 ab 1( cos 2 t) dt  2 ab  t  sin t 2    ab


 0 0  2 
2 0
Зокрема, якщо a  b  R , то одержимо відому формулу площі круга R 2 .
Нехай крива АВ задана в полярних координатах рівнянням  (rr  ),     
причому функція (r ) неперевна і невід’ємна на відрізку  , . Плоску фігуру, обмеженою
кривою АВ і двома променнями, які утворюють з полярною віссю кути  і  , будемо
називати криволінійним сектором (рис.5). Знайдемо площу криволінійного сектора.

Рис.5
Розіб’ємо довільним чином відрізок  ,  на n частин точкоми
                 , виберемо на кожному відрізку  ,  
0 1 2  i 1 i n i 1 i
довільну точку (     ) і побудуєм кругові сектори з радіюсоми (r  . В результаті
)
i i 1 i i i
одержимо фігуру, площа якої S наближено дорівнює сумі площ кругових секторів
1 n 2
S   r  )( i  ,
i
2 i1

1 2
де    . З іншого боку, ця площа є інтегральною сумою для інтеграла  r (  d)  .
i i  i 1
2

Оскільки функція r 2 ( ) неперевна па відрізку  , , то границя цієї суми при

1 2
  max   існує і довівнює інтегралу  r (  d)  .
0
1  ni i 2

Отже, площа криволінійного сектора дорівнює цьому визначеному інтегралу
1 n 2 1  2
S  lim  r (  )    r (  d)  .
2  0  i 1 i i 2 
Приклад 3. Обчислити площу фігури, обмеженої кардіодою  ar 1 (  cos ) (рис.6).