Page 89 - 203_

x 2 y 2  z 2
  . 1
a 2 b 2
Еліпсоїд обертання є тіло, обмежене поверхнею обертання кривої
x 2
y  b 1 ( a  x  ) a
a 2
навколо осі Ох, тому за формулою(9.3)
a
b  x   x  4
3
2
2
V   b 2   1   2   dx  b 2  x   2     ad
a a   3a  3
  a

9.3. Довжина дуги кривої.
Ми розглянули ряд задач, які приводять до поняття визначеного інтеграла. Всі вони
мають те спільне, що в них знаходження значення будь-якої величини, зводиться до
визначення границі деякої інтегральної суми при прямуванні дрібності розбиття до нуля,
тобто до визначеного інтеграла. Існує, проте і інший круг задач, які приводять до поняття
визначеного інтеграла. В них відома швидкість зміни однієї величини відносно іншої і
потрібно знайти першу величину, або точніше дана похідна функції, а потрібно знайти саму
функцію, тобто за заданою функцією знайти одну з її первісних. Ця задача також
розв’язується за допомогою визначеного інтеграла, оскільки такою первісною є, наприклад,
визначений інтеграл із змінною верхнєю межею. Розглянемо для прикладу обчислення
довжини дуги кривої.
Нехай крива Г задана параметрично векторним представленням


r  r (t ), a  t  , b

де функція (tr ) неперевно-диференційовна на відрізку  ba, . Тоді, як відомо, крива Г
спрямлювана і зміна довжини дуги (tl ) , яка відраховується від початкової точки (її радіус-

вектор – це (ar ) ) кривої Г, є також неперервно-диференційовною функцією параметра t на
відрізку  ba, , причому

dl r d

dt dt
Тому за формулою Ньютона-Лейбніца, для довжини l  l (b ) кривої Г, одержимо
b dl
 bll ( )  al )(   dt ,
a dt
звідки
b
dr
l  dt
a dt 
Якшо r  (x (t ), y (t ),z (t )), то
b
2
l   x  t ) (  y  2 (t )  z  2 (t )dt . (9.4)
a
У випадку, коли крива Г є графіком неперервно-диференційовної функції
y  f ( x ), a  x  b , формула (9.4) приймає вигляд
b
2
l   1  f  x)( dx.. (9.5)
a
3
Приклад 5. Обчислити довжину дуги півкубічної параболи y  x , якщо 0  x  5 (рис.8).
2