Page 90 - 203_

Рис.8
3 3 1

З рівняння y  x знайдемо y  x 2 . Отже, за формулою (9.5)
2
2
5
3
5 5 9 x 2 335
2
l   1 y  dx   1 x dx  8  1   9  

0 0 4 27  4  27
0
Заувадення. Для обчислення довжини дуги плоскої кривої у випадку, коли крива задана в
полярних координатах рівнянням  (rr  ),      , де (r ) має неперервну похідну (r )
на відрізку  , , потрібно перейти від полярних координат до прямокутних. Тоді одержимо
параметричне задання кривої рівняннями x  ( r  cos)  , y  r   sin      ( -

параметр). Оскільки
 x  r ( ) cos r  sin ,
 y  r ( ) sin r  cos , то

l   r 2    r 2    d .

9.4 Площа поверхні обертання.
Нехай функція (xf ) невід’ємна і неперервна разом зі своєю першою похідною на відрізку
 ba, . Знайдемо площу поверхні, яка утворюється графіком цієї функції навколо осі Ох.
Розіб’ємо довільним чином відрізок [a,b] на n частин точкоми
a=x 0<x 1<x 2<…<x i-1 <x i<…<x n=b.
Нехай A , A , , A - відповідні точки графіка функції (xf ) . Побудуємо ламану
o 1 n
A , A , , A . При обертанні цієї ламаної навколо осі Ох одержимо поверхню, яка
o 1 n
складається з бічних поверхонь урізаних конусів(циліндрів).
Площа бічної поверхні урізаного конуса(циліндра), утвореного обертанням і-тої ланки
f x  f  x
ламаної, дорівнює 2 i 1 i l , де l - довжина хорди A i 1 A , тобто
i
i
i
2
2 2
l    xx   f   fx x  .
i i 1  i i 1  i
За формулою Лагранжа
f   fx  x  f   x  x  x ,   x .
i i1 i i1 i1 i i
Покловши x  x   , x одержимо
i i 1 i
l  1  f  2   x
i i i
Отже, площа роверхні обертання наближено дорівнює площі поверхні, отриманої від
обертання ламаної