Page 93 - 203_

n
 y m
y m  y m   y m i i
y  1 1 2 2 n n   i 1 . (10.2)
c n
m  m   m
 m i
1 2 n
 i 1
Знайдемо центр мас плоскої лінії. Нехай крива задана рівнянням y  f (x ) , a  x  b.
Будемо вважати, що крива має масу і що маса її дуги прямо пропорційна довжині дуги; якщо
 m -маса дуги довжини S , то m    S , де  -деяка стала, яка називається лінійною
густиною кривої. Криві, для яких   const , в механіці називаються однорідними. Розіб’ємо
лінією на n частин довжиною s  , s , s  , . Маси цих частин будуть дорівнювати добутку
1 2 n
їх довжин на густину: m   s  . На кожній частині дуги s візьмемо довільну точку з
i i i
абцисою  . Представимо тепер на кожну частину дуги s матеріальною точкою
i i

P  , f   з масою  s і підставимо в формули (10.1), (10.2) замість x значення  ,
i i i i i i
замість y значення  f  , а замість m значення  s , одержимо наближені формули для
i i i i
визначення центра мас дуги:
n n
  s  f   s
 i i i i
x   i 1 , y   i 1 .
c n c n
  s i   s i
 i 1  i 1
Якщо функція y  f (x ) неперервна і має неперервну похідну, то суми, які знаходяться в

чисельнику і знаменнику кожного дробу при s  0 мають границі, рівні границям
i
відповідних інтегральних сум. Таким чином, координати центра мас дуги виражаються
визначеними інтегралами:
b b b b
 xds  x 1   f 2  dxx  f  dsx  f   x 1   f 2  dxx
x  a  a , y  a  a
c b b c b b
 ds  1   f 2  dxx  ds  1   f 2  dxx
a a a a
Порівнюючи формули для ординати центра мас кривої, довжини дуги l (9.5) і площі
поверхні, обертання P (9.7) одержимо цікаве співвідношення P  y  2 l , яке становить зміст
c
першої теореми Гульдіна.
Теорема 1 (перша теорема Гульдіна). Площа поверхні, яка отримується від обертання
кривої навколо деякої осі, що її не перетинає дорівнює довжинв цієї кривої, помноженій на
довжину кола описаного центром мас цієї кривої.

2
2
2
Приклад 2. Знайти координати центра мас півкола x  y  a , яке розташоване над
віссю Ох.
Визначити ординату центра мас.
2
dx x  dy 
2
2
y  a  x ,   , ds  1   dx ,

dy x  a 2  dx 
2
a
ds  dx
2
a  x 2
a a a
2
 a  x 2 2 2 dx a  dx
y   a a  x   a  2 a ,
c
a a 