Page 94 - 203_

x =0 (оскільки півколо симетричне відносно осі Оу).
c
Визначимо центр мас плоскої фігури. Нехай задана фігура, яка обмежена лініями y  f (x ),
1
y  f (x ) , x  , x  , представляє собою матеріальну плоску фігуру. Поверхневу густину,
a
b
2
тобто масу одиниці площі поверхні, будемо вважати сталою і рівною  .
Розіб’ємо дану фігуру прямими x  x  a , x  x , , x  x  b на смужки шириною
0 1 n
 x , x ,  , x . Маса кожної полоски буде дорівнювати добутку її площі на густину  .
1 2 n
Якщо кожну смужку замінити прямокутником (рис.1)

Рис.1
x  x
З основою x і висотою   ff     , де   i 1 i , то маса смужки буде наближено
i 2 i 1 i i
2
дорівнювати
m   f   f   x i 1  , 2 ,  n ,
i 2 i 1 i i
Наближено центр мас цієї смужки буде знаходитись і центрі відповідного прямокутника:
f    f  
 x   ,  y  2 i 1 i .
i c i i c
2
Замінемо тепер кожну смужку матеріальною точкою, маса якої дорівнює масі відповідної
смужки і знаходиться в її центрі мас. Знайдемо наближене значення координат центра мас
всієї фігури
n 1 n
  i   f 2   f i 1  x i i   f 2   f i 1   f i 2   f i 1  x i i
x   i 1 , y  2  i 1 .
c n c n
  f 2   f i 1  x i i   f 2   f i 1  x i i
 i 1  i 1
Перейдемо до границі при x  0 , одержимо
i
b b
1 2 2
 x f 2   fx 1  dxx 2  x f 2   fx 1  dxx
x  a , y  a .
c b c b
  f 2   fx 1  dxx  f 2   fx 1  dxx
a a
Порівнюючи формули для ординати центра мас плоскої фігури, площі цієї фігури S і
об’єму тіла обертання, одержимо V  S y  2  , яке становить зміст другої теореми Гульдіна.
c
Теорема(друга теорема Гульдіна).
Об’єм тіла обертання плоскої фігури навколо осі, що її не перетинає дорівнює добутку
площі цієї фігури на довжину кола, яке описує центр мас фігури.
2
Приклад 3. Визначити координати центра мас сегмента параболи y  ax , що відтинається
a
прямою x  (рис.2).