Page 91 - 203_

n f x  f  x
P   2  i 1 i 1   f 2  x i i
 i 1 2
Представимо цю суму у вигляді двох сум
n  n 
P  2  f  i   f 2  x i i     f x  i 1  f    f i    fx i   1   f 2  x i i 

  1
i
 i 1  i 1 
b
Перша сума в правій частині (9.6) є інтегральною сумою для інтеграла 2  f   x 1 f  2  dxx ,
a
і при  max  x 0 із-за неперервності функції  xf 1 f  2  x має границею цей
1  ni i
інтеграл. Оскільки функція  xf рівномірно неперервна на  ba, , то за теоремою Кантора

для будь-якого  0 існує   0 таке, що при   виконується нерівніості
f x  f     і   fxf     . Якщо позначити через М максимальне значення
 i 1 i i i
функції 1 f  2  x на відрізку  ba, , то права сума в (9.6) при   оцінюється наступним

 n 2  n
чином    f x i 1  f    f   fx    1 i  f    x   2 M   x  2M b  a  .

 
i
i
i
i
i
i  1   i 1
Оскільки  - довільно мале число, то звідси випливає, що границя вказаного виразу
дорівнює нулю при  0 .
Таким чином, переходячи в рівності (9.6) до границі при  0 , матимемо
b
P  2  f   1x  f  2   .dxx (9.7)
a
Зауваження. Якщо поверхня отримується обертанням навколо осі Ох кривої АВ, яка
задана параметрично рівнянням x   t , y   t ,   t   , причому   0t ,  t
змінюється від a до b при зміні t від  до  ,   a ,   b то, зрабивши в інтегралі
(9.7) заміну змінної x   t , матимемо
b
P  2     t  2   t    2   .dtt (9.8)
a
Якщо крива задана в полярних координатах рівнянням  (rr  ),      , де (r ) має
неперервну похідну (r ) на відрізку  , , то цей випадок зводиться до параметричного
задання кривої x  ( r  cos)  , y  r   sin      і формула (9.8) приймає вигляд



P  2  r  sin  r 2    r 2    d .

Приклад 6. Знайти площу поверхні утвореної обертанням кардіоїди  ar 1 cos   навколо
полярної осі.
Маємо r    ra sin  ,
2
2
2
r   r 2  4a 2 1 cos   4a 2 sin   4a cos  .
2
     128
P  2  2a 1 cos sin 4a cos d  64 a 2  cos 4 cos d   a 2 .
0 2 0 2 2 5
Лекція 10. Деякі фізичні застосування визначеного інтеграла
10.1. Робота змінної сили.
Нехай матеріальна точка рухається під дією сили F, яка напрямлена вздовж осі Ох і яка має
змінну величину, що залежить від x. Потрібно визначити роботу A, яку здійснює сила F по