Page 86 - 203_

невід’ємні, то площа S даної фігури дорівнює різниці площ криволінійних трапецій,
обмежених зверху відповідно графіками функцій y  f (x ) і y  f (x ) . Отже,
1 2
b b b
S  f 2  (x )dx  f 1  (x )dx    (xf 2 )  f 1 (x )  .dx (9.2)
a a a
Формула (9.2) справедлива і тоді, коли (xf ), f (x ) не є невід’ємними. Дійсно, із-за їх
1 2
h h
обмеженості існує число h 0 таке, що функції f ( x ) f ( x ) h , f ( x ) f ( x ) h є
1 1 2 2
невід’ємними, і має місце очевидна рівність
b b
h h
 f 2 (x )  f 1 (x  ) dx    (xf 2 )  f 1 (x )  .dx
a a
Приклад 1. Обчислимо площу фігури, обмеженої графіками функцій y  f ( x ) x
1
і y  f (x )  2 x 2 (рис.3).
2

Рис.3
2
Знайдемо абциси точок перетину прямої у=х з параболою у=2-х . Розв’яжуючи систему
  xy
рівнянь  2 ,одержимо х 1=-2, х 2=1. Це є межі інтегрування. Тоді площа фігури за
 y  2  x
формулою(9.2)
1 1  x 3 x 2  1 9
S   (xf 2 )  f 1 (x  ) dx    2(  x 2 )  x  dx  2 x    .
 2  2  3 2   2 2
Зауваження. Для обчислення площі криволінійної трапеції у випадку, коли верхня межа
задана параметричним рівнянням x  (t ), y  (t ) ,   t   , причому ( )  a ,  ( )  b ,
в формулі (9.1) потрібно зробити заміну змінної, поклавши x  ) (t , dx  ( t) dt . Тоді

одержимо

S   t)(   t)( dt


Приклад 2. обчислити площу фігури, обмеженої еліпсом.
  ax cost
 , 0  t  2 .
 y  a sin t
Еліпс симетричний відносно осей координат, тому достатньо обчислити площу частини
фігури, яка знаходиться в І чверті(рис.4). Отже