Page 85 - 203_

Лекція 9. Деякі геометричні застосування визначеного інтеграла.
9.1. Площа плоскої фігури. Нехай на площині Оху задана фігура, обмежена відрізком [a,b]
осі Ox, прямими x=a,x=b і графіком неперевної функції y=f(x) на [a,b] . Це криволінійна
трапеція (рис 1).

Рис.1
Поставимо задачу обчислити площу криволінійної трапеції. Розіб’ємо довільний відрізок
[a,b] на n частин точками a=x 0<x 1<x 2<…<x i-1<x i<…<x n=b, виберемо на кожному відрізку
[x i-1 ,x i] довільну точку  (x і-1≤ξ і≤х і) і розглянемо специфічну фігуру(рис.1). площа S
i
криволінійної трапеції наближено дорівнює площі східцевої фігури.
n
S   f ( i ) x ,
i
 i 1
де x  x  x . Природньо вважати, що при  max  x 0 площа східцевої фігури
i i 1  i i
1  ni
прямує до площі криволінійної трапеції. З іншого боку площа східцевої фігури є
b

інтегральною сумою для інтеграла f ( x) dx . Оскільки функція (xf ) неперевна на [a,b], то
a
площа S криволінійної трапеції дорівнює визначеному інтегралу від функції (xf ) на [a,b] :
n b
S lim  f ( x) x  f ( x) dx . (9.1)

 0 i
 i 1 a
Отже, визначений інтеграл від невід’ємної неперевної функції по [a,b] дорівнює площі
криволінійної трапеції з основою [a,b], обмеженою зверху графіком функції (xf ) . В цьому
полягає геометричний зміст визначеного інтеграла.
Нехай фігура обмежена знизу і зверху графіками функцій і y  f (x ) y  f (x ) ,
1 2
f (x )  f (x ), a  x  b(рис.2),де (xf ), f (x ) - дві неперервні функції. Якщо обидві функції
1 2 1 2

Рис.2