Page 6 - Лекція 6

Приклади.

5
4
4
1.Якщо f x( ) x то, F x( ) 1 x оск льки, і 1 x 5 x .
5 5
1
2.Якщо f x( ) , то F x( ) ln x
x
1
на( ;0 ), бо(ln x) .
x
1
3.Якщо f x( ) , то F x( ) ln x
x
1
x
на( ; )0 ( ;0 ), бо(ln ) .
x

5
4
Якщо f x( ) x , то F x( ) 1 x , F x( ) 1 x 2 , 2
5 5
1 5 1 2
F x( ) x . 0 6 і взагалі F x( ) x C, C R.
5 5

4
Це є загальний вигляд первісної для f(x) = x .

Теорема 1. (про загальний вигляд усіх первісних).
1. Якщо F(x) – первісна для f(x), то F(x) + C, C R, є також
первісною для f(x).
2. Довільна первісна Ф(x) для f(x) має вигляд Ф(х) =
= F(x)+C, C R, де F(x) – одна з первісних для f(x).
/
/
Доведення. 1. Якщо F (x) = f(x), то ( F(x) + C ) = f(x).
/
/
2. Нехай Ф(х) і F(x) – первісні для f(x), тобто Ф (x) = F (x) =
/
=f(x).Тоді (Ф(х) – F(x) ) = 0.
Отже, Ф(х) – F(x) = C, тобто Ф(х) = F(x) + C.
Теорема 2. (про існування первісної ).
Будь-яка неперервна на [ a, b ] функція має на цьому ін-