Page 79 - Лекція 1

1
1
1
y C e k x C xe k x e k x ( C 1 C x)... (5.6)
2
2
1
Приклад 2. Знайти загальний розв язок рівняння
y 4 y 4 y 0 .
Характеристичне рівняння
k 2 4 k 4 0 , його корені k 1 k 2 2 .
Відповідні частинні розв язки рівняння
y 1 e 2 x y , 2 xe 2 x .
Загальний розв язок рівняння

y C e 2 x C xe 2 x e 2 x ( C 1 C x).
2
2
1

3) Нехай k і k комплексно-спряжені корені, тобто
2
1
k 1 i , k 2 i ( 0) . Тоді за теоремою1 (20
функції y 1 e x cos x і y 2 e x sin x є частинними
розв язками рівняння (5.1). Ці розв язки лінійно незалежні,
y
оскільки 1 ctg x const . Тому загальний розв язок
y 2
рівняння (5.1) такий

y e x ( C cos x C sin x). (5.7)
2
1

Приклад 3. Розв язати рівняння

y 4 y 13 y 0 , y( )0 1 y ; ( )0 0.