Page 80 - Лекція 1

Характеристичне рівняння

k 2 4 k 13 0

має комплексно-спряжені корені k 1 2 3 i k, 2 2 i 3 .

Відповідні частинні розв язки
y 1 e 2 x cos 3 x y, 2 e 2 x sin 3 x
лінійно незалежні. Загальний розв язок рівняння
y e 2 x ( C cos 3 x C sin 3 x). Розв яжемо задачу Коші.
1
2
Для цього треба знайти C і C : з умови y( )0 1
1
2
дістанемо C 1 1 . Для використання другої умови знайдемо
похідну від розв язку:
y e 2 2 x ( C cos 3 x C sin 3 x)
2
1

e 3 2 x ( C sin 3 x C cos 3 x);
1
2
y [ (2 C cos3 x C sin3 x)
1 2
( 3 C cos3 x C sin3 x)].
2
1

Використовуючи умову y ( )0 0 , дістанемо
2 2
2C 1 3C 2 0 C, 2 C C, 2 .
1
3 3

Розв язок задачі Коші: y e 2 x (cos 3 x 2 sin 3 x) .
3
На завершення подаємо таблицю формул загального
розв язку рівняння (5.1) в залежності від коренів
характеристичного рівняння