Page 40 - Лекція 1

Якщо ліва частина рівняння (3.1) є повним
диференціалом деякої функції u x y( , ), то його можемо
записати du 0 , звідки u x y( , ) C . Знайдемо функцію
u x y( , ). Для цього зінтегруємо

u
P по x ( y зафіксовано):
x
маємо
x
u x y( , ) P x y dx С( , ) ,

x 0
де С- не залежить від x, тобто C = C(y)- довільна функція y.
x
Тоді u x y( , ) P x y dx С y( , ) ( ), (3.4)
x 0

Для визначення C y( ) продиференціюємо (3.4) по y

u x P
dx C y( ) (3.5)
y y
x 0
Використавши другу умову (3.3) і (3.2), рівняння (3.5)
можемо записати так
x Q
y
Q x y( , ) dx C ( ),
x 0 x
але
x Q
dx Q x y( , ) x Q x y( , ) Q x y( 0 , ),
x x 0
x 0