Page 8 - Лекція 1

2 u 2 u u
3. u 2 - рівняння з частинними
x 2 x y x
похідними другого порядку ( u(x,y) - невідома функція
змінних x і y).

Розглянемо спочатку деякі приклади задач, які
описуються диференціальними рівняннями, а потім загальні
відомості про ДР, методи їх розв’язування.
Задача 1. Експерементально встановлено , що у
сприятливих умовах швидкість розмноження бактерій в будь-
який момент часу додатна і пропорційна їх масі. Треба
визначити залежність росту маси бактерій від часу.
Розв’язання. Масу бактерій в момент часу t позначимо
dm
m(t): m(0)=m 0.. Тоді - швидкість розмноження цих
dt
бактерій. Тому визначений в умові задачі біологічний
експериментальний закон дозволяє скласти рівняння
розмноження бактерій
dm t( )
k m t k( ), 0 (1.1)
dt
Коефіціент k залежить від виду бактерій і умов, у яких вони
перебувають. Його можна визначити експериментально.
Одержане рівняння (1.1) містить невідому функцію m(t)
і її похідну, тому є звичайним ДР першого порядку.
Задача 2. Тіло, яке має в початковий момент t=0
температуру T(0)=T 0, помістили в середовище, температура
якого підтримується незмінною і рівною T 1. Як буде
змінюватись з часом температура тіла ?
Розв’язання. Нехай T(t) - температура тіла в момент
часу t. Тоді швидкість зміни температури тіла з часом