Page 56 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

використовуються для апроксимації рівняння в точці,
називається шаблоном. В даній роботі використовується
шаблон типу "хрест".
Система рівнянь (10.3) завжди сумісна і має єдиний
розв'язок. Його можна одержати методом Гаусса. Але, якщо
кількість вузлів сітки велика, то зручніше використовувати
ітераційні методи. Один із таких методів полягає в
наступному. Вибравши початкові наближення U i , j ) 0 ( ,
послідовні наближення для внутрішніх вузлів сіткової області
визначаємо за формулою
1
U ( )S U i S 1, j 1 U i S 1, j U , i j S 1 U , i j S 1 1 , S 1, 2, ... (10.4)
, i j
4
Відомо, що при S послідовність U i (S ) збігається
, j
до точного розв'язку незалежно від вибору початкових
наближень. На практиці в якості U i , j ) 0 ( беруть середнє
арифметичне значень U (x , ) y в чотирьох граничних точках,
розташованих на одній горизонталі і вертикалі з точкою U i, j .
Ітераційний процес продовжується до тих пір, поки не
співпадуть два послідовних наближення U i, S j i U i , j S 1 з

заданою точністю.
Приклад.
Розв'язати задачу Діріхле для рівняння Лапласа в
області 0 x , 4 0 y 3 з заданими гpаничними умовами:
U | x 0 y 2 y , U | y 0 x 2 , U | x 4 16 y 2 y , U | y 3 x 2 , 6

розглянувши квадратну сітку з кроком h=1. Ітераційний
процес продовжувати до тих пір, поки в двох послідовних
наближеннях не співпадуть три десяткові знаки після коми.
Розв’язок.
При обчисленні послідовних наближень зручно
користуватися прямокутною таблицею, у якій кожна клітка
відповідає вузлу сітки. В першому і останньому стовпчиках та
в першому і останньому рядках цієї таблиці записуються

55