Page 55 - МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

умови замінюються різницевими крайовими умовами для
сіткової функції. Одержану систему скінченно-різницевих
рівнянь розв'язуємо яким-небудь способом, і визначаємо
значення шуканої функції у вузлах сітки, тобто чисельний
розв'язок початкової задачі.
Для даної задачі найбільш зручна так звана прямокутна
сітка, утворена системою прямих x ih , i 1 , 0 ,...,n ,

y , jl j 1 , 0 ,...,m ,, де x n nh a, y m ml b (рис. 10.1).

Вводячи позначення U i , j U (x i , y j ) апроксимуємо частинні

2 U 2 U
похідні , в кожному внутрішньому вузлі сітки
x 2 y 2

центральними різницевими похідними другого порядку

2 U U i , 1 j 2U i , j U i , 1 j 2 U U , i j 1 2U , i j U , i j 1
x 2 h 2 , y 2 l 2
і замінюємо рівняння Лапласа скінченно-різницевим
рівнянням
U i 1, j 2U , i j U i 1, j U , i j 1 2U , i j U , i j 1 0, (10.2)
h 2 l 2
де i 2 , 1 ,...,n , 1 j 2 , 1 ,...,m 1.
Рівняння (10.2) разом із значеннями U в граничних
i,
j
вузлах утворюють систему лінійних рівнянь відносно
наближених значень функції U (x , ) y у вузлах сітки (x i , y i ).
Найпростіший вигляд має ця система при l h
1
U U U U U ,
, i j
4 i 1, j i 1, j , i j 1 , i j 1
U i ,0 f x i , U , i m f x i , U 0, j f y j , U , n j f 2 y j , (10.3)
1
4
3
i 1, 2, ... , n 1, j 1, 2, ... , m 1.
При одержанні рівнянь (10.3) була використана схема
вузлів, зображена на рис. 10.1. Набір вузлів, які

54