Page 31 - 14

34

Обчислимо відношення (Y p / ) U ( p ), яке називається передавальною функцією об’єкта.
Точніше передавальною функцією об’єкта називають відношення вихідної величини до вхідної
перетворених за Лапласом при нульових початкових умовах
( Y p )
W ( p )  , (2.61)
U ( p )
Із (2.60) випливає, що
m
b p  b p m 1  ... b p  b
W ( p )  0 1 m 1 m , (2.62)
n
a 0 p  a 1 p n 1  ... a n 1 p  a n
Знаменник і чисельник передавальної функції (2.62) це поліном n -го і m - го порядку
комплексної змінної p , які позначимо через (K p ) і (D p ), тобто
m
K ( p )  b 0 p  b 1 p m 1  ... b m 1 p  b m ,

n
D ( p )  a 0 p  a 1 p n 1  ... a n 1 p  a n .
Поліном D ( p )носить назву власного оператора об’єкта, а поліном K ( p )- оператор
зовнішніх впливів.
З рівняння (2.61) можна визначити зображення вихідної величини об’єкта
( Y p )  W ( p U ) ( p ). (2.63)
Співвідношення (2.61) або (2.62) в частотній області описує динамічні властивості об’єкта
(системи).
Отже, передавальна функція об’єкта W ( p ) повністю характеризує його динамічні
властивості (при малих відхиленнях вихідних і вхідних величин від своїх усталених значень) і є
однією з найважливіших характеристик об’єкта (системи).

Подання математичної моделі в просторі станів. Для розв’язку цілого ряду задач -
моделювання на цифрових ЕОМ, оптимізації, “аналітичного” конструювання регуляторів та інше
- застосовують опис об’єктів у просторі станів.
Такий опис виникає природнім шляхом при моделюванні багатовимірних об’єктів або в

Перший спосіб. Цей спосіб можна застосувати в тому випадку, коли права частина
диференціального рівняння (2.27) не вміщує похідних . В такому випадку маємо
результаті заміни диференціального рівняння
- го порядку системою
1
n
n
2
n
диференціальних рівнянь. Таку заміну можна здійснити декількома способами.
y
d
d
y
y
d
d
y
a 0 n  a 1 n 1  a 2 n 2  ... a n 1  a n y  b 0 u. (2.64)
dt dt dt dt
Розв’яжемо диференціальне рівняння (2.64) відносно старшої похідної
d n y a d n 1 y a d n 2 y a d n 1 y a b
  1  2  ... n 1  n y  0 u .
dt n a dt n 1 a dt n 2 a dt n 1 a a
0 0 0 0 0
Введемо змінні стану об’єкта
dx dx dx dx
x  , y 1  x , 2  x ,..., i 1  x ,..., n 1  x
1 2 3 i n
dt dt dt dt
dx dy d 2 y dx d 3 y dx d n 1 y dx
Тоді 1   x  1  2  x  1  3  x  ...  n 1  x .
n
3
2
4
dt dt dt 2 dt dt 3 dt dt n 1 dt
Таким чином, маємо таку систему диференціальних рівнянь