Page 30 - 14

33
 T  T  C T 1  C C  1  T 3  C C  T 1 
1 

 T  T  X   C X   3 0 U  P U  0 U   P U  1 T F  U .
 3 4  V  P V  q 1 q 1 q 2 q 2 1  1 G
 T 2  T 2 T 2 T 2 T 2 T 2 T 2
(2.54)

2.5. Основні форми подання математичних моделей

В залежності від конкретної задачі, яку розв’язує дослідник, математичну модель об’єкта
необхідно подати в тій чи іншій формі . Всі ці форми є еквівалентними, вони відтворюють одні і
ті ж динамічні властивості об’єкта . Тому необхідно вміти переходити від однієї форми до іншої.
У практиці керування лінеризовані математичні моделі подаються у формі
диференціальних рівнянь, передавальних функцій, в формі системи диференціальних рівнянь (в
просторі станів), в матрично-векторній формі і в формі матричних передавальних функцій.

Форма диференціальних рівнянь. Якщо у-вхід об’єкта, а u - його вихід, то взаємозв’язок

d n y d n 1 y dy d m u d m 1 u du
a 0  a 1  ... a n 1  a n y  b 0  b 1  ... b m 1  b m u , (2.55)
dt n dt n 1 dt dt m dt m 1 dt
між y і u в динаміці можна відтворити диференціальним рівнянням -го порядку з
де a 0 a , 1 ,..., a n b ; 1 b , 2 ,..., b - постійні коефіцієнти.
m
постійними коефіцієнтами
Інколи користуються іншою індексацією постійних коефіцієнтів, коли індекс коефіцієнта
співпадає з порядком похідної, тобто
d n y d n 1 y dy d m u d m 1 u du
a  a  ... a  a y  b  b  ... b  b u , (2.56)
n n n 1 n 1 1 0 m m m 1 m 1 1 0
dt dt dt dt dt dt
Для реальних об’єктів завжди має місце співвідношення m  , яке носить назву умови
n
фізичної реалізації системи.

Форма передавальної функції . Рівняння (2.55) і (2.56) відтворюють динамічні властивості
об’єкта (системи) в часовій області, а передавальна функція дає можливість описати динаміку
об’єкта в частотній області . Ця форма математичної моделі ґрунтується на перетворенні Лапласа .
r
Відомо, що перетворення Лапласа від лінійної форми  i y , де ,c i i  r , 1 - сталі величини,
c
i
i 1
визнаються як сума перетворень Лапласа від кожної функції (y i ) t , тобто
 r  r
L   c i y i ) t (    c i Y i ( P ); (2.57)
 i 1  i 1
d r  y r
L  r   p r ( Y p )   p r k y r 1 0 ( ), (2.58)
 dt  k 1
Співвідношення (2.30) спрощується, якщо початкові умови нульові
перетворення Лапласа від похідної -го порядку виражається формулою
d  r y 
L  r   p r ( Y p ), (2.59)
 dt 
Перетворимо рівняння (2.55) або (2.56) за Лапласом, використовуючи властивості (2.57) і
(2.58) та приймаючи до уваги, що диференціальне рівняння (2.55) записане для лінеаризованої
математичної моделі, де y і u відхилення вихідної і вхідної величин об’єкта від усталених
значень, що і визначає нульові початкові умови. Отже,

m
n
a ( p  a p n 1  ... a p  a ( Y ) p )  b ( p  b p m 1  ... b p  b U ) ( p ),
0 1 n 1 n 0 1 m 1 m
(2.60)