Page 56 - Міністерство освіти і науки України

x вих (nT T ) ( Tk v ) 1 x вих (nT ) k v Tx вх (nT )
Оцінимо стійкість імпульсної автоматичної системи.

3.3 Оцінка стійкості імпульсної автоматичної системи

Необхідною умовою працездатності імпульсної
системи є її стійкість. Відомі із попередніх розмов основні
визначення стійкості неперервних систем можна використати
і до імпульсних систем, але з врахуванням ряду особливостей
цих систем.
Звернемося до основного формулювання умови
стійкості: імпульсна система стійка, якщо її власний рух
протягом періоду часу затухає.
Як вже відмічалось, на практиці часто обмежуються
визначенням дискретної функції x вих(nT) на виході системи.
Цей розв язок можна отримати,наприклад, із формули (3.13) у
вигляді суми вільної і вимушеної складових:
x вих (nT ) x c (nT ) x в (nT ) . (3.14)
Таким чином умова стійкості системи записується так:
lim x (nT ) 0 . (3.15)
n c
Оцінку стійкості імпульсної системи, як і неперервної,
переважно проводять на основі дослідження
характеристичного рівняння замкнутої системи, яке
отримаємо із формули (3.13):
M (z ) c m z m c m 1 z m 1 ... c 1 z c . (3.16)
0
Це алгебраїчне рівняння має m коренів z i на поверхні z. Але
оскільки змінна z з явилась у зв’язку з підстановкою z e pT ,
то кожний корінь z i зв язаний з коренями р і на поверхні р
p
залежністю z i e . Легко помітити, що нульовому кореню,
t i
наприклад p 1 0, відовідає корінь z 1=1, а кореням p із
i
від ємними дійсними частинами відповідають корені z i 1.
Тепер можна дати формулювання математичної умови
стійкості: імпульсна автоматична система стійка, якщо всі
корені її характеристичного рівняння (3.16) лежать всередині
кола одиничного радіуса, яке побудоване в початку координат
комплексної поверхні z (рис.3.13, точки ; zz 1 2 ; z 3 ; z 4 ; z ). Якщо
5
хоча б один із коренів лежить на колі з радіусом R=1, то
система знаходиться на межі стійкості (рис.3.13, точка z ).
6