Page 116 - 126

Отже, три інваріантні величини (4.23), як і для випадку
напруженого стану, не залежать від вибору системи
координат.
Першому інваріантові J 1 можна дати, до речі, наочну
геометричну інтерпретацію – він виражає відносну зміну
об’єму при деформації тіла. Дійсно, оскільки об’єм
елементарного паралелепіпеда (рис.4.4) після деформації є
таким:
V’= (1+ x)dx(1+ y)dy(1+ z)dz
то відносна зміна об'єму буде рівною
 = (1+ x)(1+ у)(1+ z)-1.
Нехтуючи в цьому виразі членами вищого порядку малості
(добутками або квадратами малих величин dx, dy, dz),
одержимо таку формулу для відносної зміни об’єму
 =  x+ у+ z, (4.24)

що повністю співпадає з виразом для першого інваріанта
деформованого стану J 1.

4.6 УЗАГАЛЬНЕНИЙ ЗАКОН ГУКА.
В попередніх параграфах ми розглянули загальні
властивості напруженого і деформованого станів, які
вивчались незалежно один від одного – перший на базі умов
статики (рівноваги), другий – виходячи з геометричних
міркувань. Властивості ж матеріального середовища до цього
часу не приймались до уваги, тому зараз “замкнемо”
ланцюжок рівнянь опору матеріалів, увівши в розгляд
співвідношення між напруженнями  і деформаціями .
Лінійні співвідношення типу
 = Е
для найбільш простих випадків розтягу-стиску вже
використовувались нами в розділі 2, як закон Гука. Зараз
сформулюємо найбільш загальний вигляд цих залежностей
для довільного напруженого стану. Найпростіше це зробити,
насамперед, для ізотропного середовища, коли властивості
матеріалу у всіх напрямах однакові. В цьому разі, очевидно,
коефіцієнти пропорційності в формулах типу  не
залежатимуть від орієнтації осей координат.

305