Page 108 - 79

Теоретична механіка. Динаміка

          

F  Xi  Yj  Zk   i  j  k  .
 
 x y z 
Якщо застосувати поняття вектора-градієнта від скаляр-
ної функції 
     
grad   i  j  k ,
x  y  z 

то силу потенціального поля можна виразити через граді-
єнт потенціальної енергії

F  grad . (3.123)
Отже, сила потенціального поля дорівнює градієнту від
його потенціальної енергії, взятому з від’ємним знаком.
З формул (3.122) випливає, що

2
2
 X    Y  
  ,   ,
y   y x x   y x
2 2
 Y    Z  
  ,   ,
z   y z y   y z
2
2
 Z    X  
  ,   .
x   x z z   z x
Враховуючи незалежність змішаних похідних від порядку
диференціювання, матимемо

 X  Y  Y  Z  Z  X
 ,  ,  . (3.124)
y  x  z  y  x  z 
Співвідношення (3.124) є необхідною і достатньою умо-
вою існування потенціального поля для заданої сили.
Зауваження. Потенціальна енергія механічної системи, по-
міщеної в потенціальному полі, — це робота
сил поля при переміщенні точок системи із
довільного положення в “нульове”.

46