Page 47 - 6832

-1
Якщо матриця W діагональна з елементами W , то зважена оцінка найменших квадратів для
вектора А і дисперсія цієї оцінки визначаться так:
N
 w i x ij ~ i
y
a €   i 1
j N
 w i x 2 ij
 i 1
*
D € [ a ]   2
j N
 w i x ij 2
 i 1
6 Нелінійна регресія
До цього часу ми вважали, що математична модель, яка описує поведінку об’єму, який
N
досліджується, лінійна і може бути предс тавлена у вигляді  ay € €  a €  x
i i i
 i 1
Проте уявлення про вид взаємозв’язку між величинами може бути невірним. Щоб підтвердити
достовірність результатів, необхідно оцінити відхилення розрахованих значень вихідної величини,
одержаних за результатами експерименту (спостережень), з цими експериментальними даними тобто
оцінити величину, пропорційну Σ(у I і – ŷ і )2. Але для цього треба виконати спочатку вагому
процедуру визначення оцінок коефіцієнтів â, а потім, в гіршому випадку, пересвідчитись, що гіпотеза
про вигляд моделі булла вибрана невірно.
Можливий більш швидкий шлях оцінки відхилення залежнос ті від лінійної. Він базується на
визначенні коефіцієнтів детермінації (дисперсійного або кореляційного відношень). Розглянемо поле
кореляції для парної залежності (див. рис. 3.5) і побудуємо в ньому лінію регресії, що задовольняє
методу найменших квадратів. Для довільної точки з координатами(х i, у i) розглянемо повне
відхилення вихідної величини від середнього значення (центру тяжіння). Відповідно до рис. 3.5 для
даної і-ї точки можна записати
~ 2 ~ ~
(y  ) y  (y  ) y  (y  y )
i i i i
Віднесемо в квадрат
~ 2 ~ 2 ~ ~ ~ 2
(y  ) y  (y  ) y  ( 2 y  y )(y  y )  (y  y )
i i i i i i i
Для всієї сукупності точок поля кореляції

N N N N
 ~ i  y ) 2   ~ i  y ) 2  2  ~ i  y )( ~ i  y )   ~ i  y ) 2
y (
y (
y (
y (
y
i
i
i
 i 1  i 1  i 1  i 1

Рис. 3.5 - Побудова лінії регресії і визначення повної дисперсії вихідної величини
~
~
У разі некорельованості систематичних (y  y ) і випадкових (y  y ) відхилень друга в
i i i i
правій частині дорівнюватиме
N N N
 ~ i  y ) 2   ~ i  y ) 2   ~ i  y ) (3.9)
2
y (
y (
y (
i
i
 i 1  i 1  i 1
Розділивши на (N-1), одержимо вираз для повної дисперсії вихідної величини, що складається із
дисперсії умовного математичного очікування і середньої умовної дисперсії.
46