Page 43 - 6832

- точніс ть, з якою задаються вхідні змінні (фактори_______) хj , що не є випадковими
величинами, повинна бути високою;
- похибки вимірювань вихідної величини є випадковими з математичним очікуванням, рівним
нулю;
- результати спостережень являють собою однорідні незалежні нормально розподілені величини;
- кожний фактор не є лінійною комбінацією інших факторів.
Таким чином регресія, що розглядається, має вигляд безумовного математичного очікування.
Завдання множинного регресійного аналізу полягає в побудові такої прямої в n-мірному просторі,
квадрат відхилення результатів спостереження від якого був би мінімальним.
Виходячи із властивостей, які має система нормальних рівнянь, на основі якої визначається
оцінка коефіцієнтів рівняння регресії, для n факторного експерименту можна записати:
N N N N N 
a €  x 2  a €  x x  ....  a €  x x  ...  a €  x x   ~ x
y
0 i0 1 i0 i1 j i0 ij n i0 in i i0 
 i 1  i 1  i 1  i 1  i 1

N N N N N 
a €  x x  a €  x 2  ....  a €  x x ...  a €  x x   ~ x (3.1)
y
0 i0 i1 1 i0 j i1 ij n i1 in i i1
 i 1  i 1  i 1  i 1  i 1 
.......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... .......... 

N N N N N 
a €  x x  a €  x x  ....  a €  x x ...  a €  x 2   ~ x
y
0 i0 in 1 i1 in j in ij n in i in 
 i 1  i 1  i 1  i 1  i 1 
Рішення даної системи рівнянь і дає значення оцінок коефіцієнтів âj методу найменших
квадратів.
Аналіз рівнянь і методика с тає більш наглядними, а розрахункові процедури суттєво
спрощуються, якщо використовуємо матричну форму запису. Сукупність вхідних величин
представляємо у вигляді вектора, що

Рис.3.4 - Геометричне представлення методу найменших квадратів
X X ... X ... X
10 11 j 1 n 1
X 20 X 21 ... X 2 j ... X 2 n
X 
... ... ... ... ... ...
X X ... X ... X
N 0 N1 Nj Nn
подається на об’єкт, який досліджується, і вимірюються вихідні величини, які відповідають
даній точці фактичного простору, утвореного вхідними величинами:
~ ~ ~ ~ t
Y  y , y ,..., y
1 2 N

Результатами даних спостережень при відомих Х необхідно знайти вектор який є оцінкою
методу найменших квадратів. Геометрично це може бути інтерпретовано наступним чином. В
ідеальному випадку вектор вихідних величин представляється у вигляді Y=XA. Через наявніс ть
~
похибок вектор спостережень результатів експерименту буде Y  XA   За методом найменших
квадратів мінімізується значення
42