Page 46 - 6832

N
 x i0 ~ i
y
 i 1
N
2
 x i0
 i 1
a € N
0  x ~
y
a €  i 1 i1 i
1
 N
...  x i1 2
 i 1
a €
n ...
N
 x in ~ i
y
 i 1
N
 x in 2
 i 1
~
€
У результаті ос танній вираз, а значить, вираз (A  C  1 X t Y ) розпадається на (n+1) незалежних
рівнянь, які дозволяють незалежно знаходити оцінки коефіцієнтів рівняння множинної регресії:
N
 x ij ~ i
y
a €  i 1 j ,  n , 0 (3.6)
j N
 x ij 2
i 1
Розглянемо, які властивості мають оцінки найменших квадратів коефіцієнтів рівняння
~
€
множинної регресії, одержаних із матричного рівняння (A  C  1 X t Y ) . Оскільки вважається, що
похибки вимірювань вихідної величини є зміщеними, то математичне очікування матриці ( точніше
вектор – стовпчики) похибок дорівнює нулю Е[ε]=0. Визначимо, чому дорівнює математичне

очікування оцінки вектора коефіцієнтів , тобто
[ E € ] A  E [C  1 X t Y ~ ] C  1 X t e [Y ~ ]
~
Взявши до уваги, що Y  XA   і Е[ε]=0, одержимо
€
E[ A ] C 1 X t XA

€
E[ A ] A
€
тобто вектор A є незміщеною оцінкою вектора А. Для визначення дисперсії одержаних оцінок
коефіцієнтів скористуємося виразом (3.4), тоді
D [ € ] A  D [C  1 X t Y ~ ]

-1
t
Оскільки матриця C X детермінована, а - випадкова матриця, то можна записати
€

1
D [A ]  E [C  1 X t Y ~ ,C  1 X t Y ~ ]  C  1 X t E [Y ~ ,Y ~ ]XC  1  C  1 X t D [Y ~ ]XC (3.7)
Дисперсія спостережень (результатів вимірювань) визначається так:
~
D [Y ]  D [XA  ]   D [ ]
Якщо похибки вимірювання вихідної величини некорельовані і мають однакову дисперсію,
2
тобто cor {  }   , D ][   2 l , де l n – одинична матриця.
i j ij n
Підставимо у вираз (3.7):
€

1
D [A ]   2 C  1 X t XC  1   2 C (3.8)
і одержимо, що коли як оцінку вектора А вибираємо саме вектор-стовпчик А(оцінку найменших
квадратів), то дана оцінка має найменшу дисперсію. Якщо похибки незалежні і однаково

€
розподілені, то Aдо того ж є і ефективною.
Для випадку, коли похибки корельовані, D ][   2 W , де W – відома, позитивно визначена

матриця, тоді оцінка найменших квадратів для вектора А
~
€
*
t 
A  ( X t W  1 X ) 1 X t W  1 Y
і називається узагальненою оцінкою найменших квадратів, а для випадку, коли матриця W
діагональна, то зваженою оцінкою.
45