Page 44 - 6832

~ 2
€
 t   Y  Y
Область в якій розташовані вектори вхідних величин, являє собою гіперплощину (на рис. 3.4
~
показаний двомірний випадок). У цій же площині відображається вектор регреії Y Мінімальній
~
відс тані між векторами спостережень Y і гіперплощиною відповідатиме довжина
~ ~
перпендикуляра, опущеного із кінця цього вектора на гіперплощину, тобто Y є проекцією Y на
~ 2
€
область і квадрат довжини вектора Q  Y  Y буде мінімальним. Умова ортогональнос ті
~ ~
€
t
різницевого вектора Y  Y до гіперплощини F може бути записана у вигляді X t ( YY € )  0 де Х –
транспонована матриця вхідних величин ( по відношенню до матриці Х в ній стовпці й рядки
помінялися місцями). Одержуємо нормальне рівняння у матричній формі:
€
X t X A  X t ~ (3.2)
Y
t
Матриця Х Х=С називається інформаційною матрицею. Тоді нормальне рівняння можна
переписати у вигляді
~
€
C A  X t Y (3.3)
і воно завжди має рішення.
Дійсно, для матриці Х, яка є матрицею плану (кожен рядок показує умови проведення і-го
досліду), транспонована матриця буде:
X X ... X
10 20 N 0
X X ... X
11 21 N1
X  ... ... ... ...

X X ... X
j 1 j 2 Nj
X X ... X
n 1 2 n Nn

Інформаційна матриця в цьому випадку
N N N N
2
 x i0  x i x i1  x i0 x ij  x i0 x in
 i 1  i 1  i 1  i 1
N N N N
 x x  x 2  x x  x x
C  i i1 il i1 ij i1 in
 i 1  i 1  i 1  i 1

N N N N
 x i0 x in  x il x in  x ij x in  x in 2
 i 1  i 1  i 1  i 1

буде квадратною розмірністю (n+1)×(n+1).

Для визначення вектора оцінок МНК необхідно вираз (3.3) домножити зліва на отриману
-1
-1
матрицю С . Оскільки матриця С квадратна, то її можна обернути. Обернена матриця С
називається коваріаційною (дисперсійною).
Перепишемо вираз (3.3) таким чином:
~
€
C  1 C A  C  1 X t Y
Добуток оберненої матриці на пряму дає одиничну матрицю. У результаті одержимо вираз для
вектора оцінок коефіцієнтів:
~
€
A  C  1 X t Y (3.4)
Кожний коефіцієнт множинної регресії визначається з виразу:
n N
y
a €    ~ x (3.5)
C
j ij i iy
 j 1  i 1
-1
де С ij – елементи матриці С .
-1
Знаходження варіаційної матриці С при значній кількості факторів n -складне і трудоємне
завдання. Якщо при перевірці моделі встановлено, що точність апроксимації мала, то все треба
починати спочатку, оскільки будь-яка добавка (значення) елементів у рівнянні прогресії відповідно
43