Page 38 - 68

Теоретична механіка

§ 14 Теорема Варіньйона

Теорема. Момент рівнодійної системи сил відносно
довільної точки дорівнює геометричній сумі моментів всіх
сил системи відносно даної точки, а момент рівнодійної
системи сил відносно осі дорівнює алгебраїчній сумі момен-
тів всіх сил системи відносно даної осі.
Доведення. Сфор-
мульована теорема спра-
ведлива для будь-якої си-
стеми сил, яка має рівно-
дійну. Доведення теоре-
ми проведемо лише для
збіжної системи сил, яка,
як відомо, має рівнодій-
ну. Доведення цієї тео-
реми для загального ви-
падку приведене в § 22. Рис. 26
  
Нехай сили F 1 , F 2 , ... , F даної системи прикладені до
n
точки A (рис. 26). 
До цієї ж точки буде прикладена і рівнодійна R заданої
системи сил. Визначимо її момент відносно довільної точки
O . З визначення моменту сили відносно точки (формула 1.15)
маємо
   
M O   rR   R .
   
Оскільки R  F  F  ... F , то отримаємо
1 2 n
        n  
M   rR  F  r  F  ...  r  F    Fr .
O 1 2 n i
 i 1
Але
   
r  F  M  F ,
i O i
тоді
  n  
F
M O  R  M O  , (1.23)
i
 i 1
що і вимагалось довести в першій частині теореми Варіньйона.
38