Page 42 - 6769

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ №4

Тема: МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗАННЯ НЕЛІНІЙНОГО
СКІНЧЕНОГО РІВНЯННЯ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ

Мета заняття: Навчитися розв’язувати нелінійні рівняння
однієї змінної за допомогою розглянутих методів.

І. ТЕОРЕТИЧНІ ПОЛОЖЕННЯ

Загальний вигляд рівняння записують як f(x) = 0. Тут функція
f(x) гладка, неперервна і визначена у деякому обмеженому інтервалі
[a, b]. Застосування чисельних методів для розв’язання рівняння однієї
змінної пов’язане з послідовним знаходженням наближень до кореня
рівняння. Якщо процес уточнення збіжний, тобто, послідовні
(к)
наближення прямують до певного стійкого значення розв’язання х
на k-ому кроці обчислення (k = 0, 1, 2, …), то знаходження кореня
рівняння можна здійснювати з будь-якою заданою точністю.

Метод половинного ділення

Розв’язання задачі наближеного визначення коренів рівняння
складається із двох етапів: 1) виділення коренів, тобто, знаходження
інтервалу [, ] на відрізку [a, b], які вміщують хоча б один корінь
рівняння; 2) уточнення коренів, тобто, безпосереднє знаходження
значень коренів на виділеному інтервалі [, ] із заданою точністю.
Для цієї задачі, якщо йде мова про дійсні корені, найпростіше
скористуватись графічним методом: побудувати криву f(x)=0 і знайти
(0)
її точки перетину з віссю абсцис, які й визначають нульові х
наближення дійсних коренів рівняння.
Якщо маємо деякий інтервал [a, b] й f(a)f(b)<0, тобто, функція
f(x) при переході від a до b змінює знак, то вона щонайменше один раз
перетинає вісь абсцис і, отже, в інтервалі [a, b] є щонайменше один
дійсний корінь рівняння. Якщо інтервал [a, b] настільки малий, що на
ньому лежить тільки один корінь, то він – інтервал ізоляції кореня.
Для знаходження за цим методом кореня хі рівняння f(х)= 0,
відділеного в проміжку [a, b], проміжок ділять навпіл. Якщо f((а +
b)/2) = 0, то х = (а + b)/2 є коренем рівняння. У противному разі

42