Page 30 - 6760

методом Рунге-Кутта на відрізку [ ] 4 . 0 ; 0 . Знайти розв’язок на
рівномірній сітці з кроком 0,1 в чотирьох вузлових точках.
Скористаємось алгоритмом Рунге-Кутта в вигляді:

x  x  , h y  y  y   1i  , ,m ,
i i 1 i i 1 i 1
1  1i   1i   1i   1i 
y  i 1  k 1  2k 2  2k 3  k 4 ,
6
k  1i hf x , y ,
1 1  i 1  i
 1 1   
1
i
 1i
k  hf  x  h , y  k 
2 i 1 i 1 1
 2 2 
 1 1   
1
 1i
i
k  hf  x  h , y  k ,
3 i 1 i 1 2
 2 2 
k  1i hf x h , y k  1i .
4 1  i 1  i 3
Оскільки f ( x, y ) x  y, одержуємо:
k  1i  hf x  y ,
1 1  i 1  i
   1 1   
i
1
i
1
k  hf  x  h  y  k ,
2 i 1 i 1 1
 2 2 
   1 1   
1
i
i
1
k  hf  x  h  , y  k ,
3 i 1 i 1 2
 2 2 
k  1i  hf x h  y k  1i ,
4 1  i 1  i 3
1  1i  1i  1i  1i
x  x  , h y  y  k  2k  2k  k   i  4 , 3 , 2 , 1 .
i  i 1 i  i 1 1 2 3 4
6
Для x 0  , 0 y 0  1послідовно знаходимо
при i 1: k 1  0  1 . 0 0 1  0 1 . , k  0  1 . 0 0 5 . 0  1 . 0 05  0 . 11,
2
k  0  1 . 0 0 . 0 05 1 . 0 055  0 . 1105, k  0  1 . 0 0 1 . 0  1 . 0 1105  0 . 12105,
3 4
x  0  1 . 0  , 1 . 0 y  . 1 073 ;
1 1
при i 2 : k 1  1  . 0 121034 , k 2  1  . 0 1320859 , k 3  1  . 0 1326385 ,
k  1  . 0 1442980 , x 242805 ;
4 2  , 2 . 0 y 2  . 1
при i 3: x 3  3 . 0 , y 3  . 1 399717 ;
при i 4 : x  4 . 0 , y  . 1 583648 .
4 3
Контрольні запитання
1 Що таке диференціальні рівняння
2 Що називають задачею Коші
3 Однокрокові та багатокрокові методи

4 Метод Ейлера
5 Методи Рунге – Кутта

30