Page 27 - 6760

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ № 6

Тема: метод Рунге-Кутта

Технічне забезпечення: ПЕОМ середовище програмування
Короткі теоретичні відомості
Розглядається диференційне рівняння першого порядку

виду:
du
 f  ut, , t 0,   0 uu  , (6.1)
0
dt
або система диференційних рівнянь першого порядку:
du   0
i  f  ut, , u ...,, u , t 0, i  , 2 , 1 ..., m ,  0 uu  . (6.2)
dt i 1 2 m i i
  t
  t
Через u (або u , u   t , …, u m   t ) позначимо точний
1 2
розв’язок рівняння або системи. Введемо по змінній t рівномірну
сітку з кроком  0, тобто розглянемо множину точок:
   nt  , n  ... , 2 , 1 , 0 .
 n
Через y    t y n позначимо наближений розв’язок, який є
n
сітковою точкою, визначеною у вузлах 

, якщо він
Чисельний метод збігається на відрізку  T;0
збігається в будь-якій точці цього відрізку, тобто, для будь-якої

t   T;0 :
t
y u   t 0 при  0, t  .
n n n
Метод має p -ий порядок точності, якщо існує таке p  0, що
y  u   Ot   p при  0.
n n
Може бути багато методів Рунге-Кута (прочитати про їх

виведення та оцінку точності розв’язків можна, наприклад у [4]):
а) метод другого порядку точності:
k   yt f , ,
1 n n
k  t f  5 . 0  ,y  5 . 0  k  ,
2 n n 1
y  y k   ; (6.1)
n 1 n 2
б) метод третього порядку точності:

k   yt f , ,
1 n n
k  t f  5 . 0  ,y  5 . 0  k  ,
2 n n 1
k  t f   ,y   k 2 k ,
3 n n 1 2

27