Page 10 - 6378

Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів. Важливим частинним випадком

загального рівняння Шредінгера, є рівняння Шредінгера для стаціонарних станів, в якому
виключена залежність від часу і, тому, значення енергії цих станів є фіксованими (не

змінюються з часом).

У цьому випадку силове поле, в якому рухається частинка, стаціонарне, тобто
функція = (, , ) не залежить явно від часу і має зміст потенціальної енергії. Розв’язок

рівняння може бути представлений у вигляді добутку двох функцій – функції тільки

координат і функції тільки часу: , , , = , , ∙ exp⁡ − , де – повна енергія
ℏ
частинки. Рівняння Шредінгера:

ℏ 2
− ∙ exp⁡ − ∙ ∆ + ∙ ∙ exp⁡ − = ℏ − ∙ ∙ exp⁡ − (11)
2 ℏ ℏ ℏ ℏ

після спрощень набуває вигляду:

ℏ 2 2
− ∆ + = або ∆ + − = 0. (12)
2 ℏ 2

Це і є рівняння Шредінгера для стаціонарних станів.
Фізичний зміст мають тільки регулярні хвильові функції – скінченні, однозначні і

неперервні разом зі своїми першими похідними. Ці умови виконуються тільки за
визначеного набору значень . Ці значення енергії називаються власними. Розв’язки, які

відповідають власним значенням енергії, називаються власними функціями. Власні значення

можуть утворювати як неперервний, так і дискретний ряд. У першому випадку кажуть про
неперервний (або суцільний) спектр, в другому – про дискретний спектр.

41.7. Застосування рівняння Шредінгера для частинки в одномірній
потенціальній ямі з нескінченно високими стінками. Квантування енергії. Розглянемо

одномірну потенціальну яму:

∞, < 0
= 0, 0 ≤ ≤ (13)
∞, >

де – ширина ями, а енергія відраховується від її дна.