Page 49 - 6245

6 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ.

6.1. Похідна та диференціал

Похідна. Її фізичний та геометричний зміст

Поняття похідної. Нехай функція = ( ) визначена на інтервалі
( ; ) i x ∈ ( ; ). Надамо аргументу приріст ∆х так, щоб нова точка

x +∆x∈( ; ). Оскільки точка фіксована, то відповідний приріст функції

0
∆ = ( + ∆ ) − ( ) є функцією приросту аргументу ∆x. Складемо

відношення ∆ /∆x, яке також буде функцією приросту аргументу ∆x.

Похідною функції = (х) в точці називається швидкість

змінювання функції в цій точці відносно змінювання аргументу х. Похідна

дорівнює границі відношення приросту функції до приросту аргументу, коли

останній прямує до нуля = lim ∆ → ∆ . Еквівалентні позначення похідної
∆

, , , ( ).

Значення похідної функції = (х) у точці записується так (х ),

або у = ( ) х х , або (х )/ .

Операція знаходження похідної називається диференціюванням
функції. Функція, що має похідну у точці , називається диференційованою у

цій точці.
Коли функція = ( ) диференційована у кожній точці проміжку
( ; ), то кажуть, що вона диференцівана на проміжку ( ; ). Похідна
функції = (), диференційованої у промжку ( ; ), сама є функцією .

Теорема (зв’язок між поняттями диференційованості та неперервності).
Якщо функція = ( ) диференційована в деякій точці , то вона

неперервна в цій точці.
∆ ∆

lim ∆ = lim ∆ = lim lim ∆ = ∙ 0 = 0.
∆ → ∆ → ∆ ∆ → ∆ ∆ →
Зауваження. Якщо функція = ( ) неперервна в деякій точці , то

вона може бути як диференційованою, так і недиференційованою в цій точці.

Наприклад = | | − недиференційована в точці = 0, хоч у цій точці
неперервна.

Приклад 1. Дано функцію = . Знайти її похідну :

45