Page 23 - 6245

б) = , = , > 1, →

0, Тоді lim → = lim → ( ) = lim → = 0 Отже, = 0( ).

в) = 4 , = , → 0 Тоді lim → = lim → (4 ) = 4 Отже,

величина є нескінченно малою третього порядку мализни відносно .
≠ 1 1
г) = , = → 0, Тоді lim ( / )
→
1

= lim ((( ≠ 1)/ )/(1/ )) = lim 1 + = 1 Отже, ~
→ →
1
д) = , = ,

1 1
→ 0 Тоді lim = lim = limsin − не існує
→ → →

Отже, і − непорівнянні.
Нехай нескінченно мала подана у вигляді суми = + Перший доданок

називається головною частиною , якщо другий доданок має вищий
порядок порівняно з .

Теорема 1. Нескінченно мала еквівалентна своїй головній частині : ~ .

= + ; = 1 + ; lim = lim 1 + lim = 1 + 0 = 1; ◙

Теорема 2. (принцип заміни нескінченно малих).При розкритті
невизначеності виду 0|0 можна чисельник і знаменник цієї невизначеності
заміняти величинами, що їм еквівалентні:
~

⇒ lim lim lim

~
Основні еквівалентності при x→0, що використовуються при обчисленнях
границь, подані в таблиці 4:

~ ~ − 1~
1 −
~ ln (1 + )~
~ 2

(1 + )

~ − 1~
− 1~
Приклад. Знайти границю :

√1 + − 1 ln (1 − 6 ) − 1

а) lim → б) lim → в) lim →

19