Page 94 - 6109

питання побудови узагальнених, параметрезованих операторів перетину,
об'єднання і доповнення, що дозволяють врахувати різноманітні змістовні
відтінки відповідних їм зв'язок «і», «або», «не».
Один з підходів до операторів перетину та об'єднання полягає у їх
визначенні в класі трикутних норм і конорм.
Трикутної нормою (t-нормою) називається двомісна дійсна функція T, яка
є бінарним відображенням: [0,1]  [0,1]  [0,1], яка задовольняє таким умовам:
T(0, 0) = 0; T( A, 1) =  A; T(1,  А) =  A – обмеженість;
T( A,  B)  T( C,  D), якщо  A   C,  B   D – монотонність;

T( A,  B) = T( B,  A) – комутативність;
T( A, T( B,  C)) = T(T( A,  B),  C) – асоціативність;
Простим випадком трикутних норм є:
min ( A,  B)
добуток  A   B
max (0,  A +  B –1).
Трикутної конормой (t-конормой) називається двомісна дійсна функція S
яка також є бінарним відображенням: [0,1]  [0,1]  [0,1], з властивостями:
S(1,1) = 1; S( A, 0) =  A; S(0,  A) =  A – обмеженість;
S( A,  B)  S( C,  D), якщо  A   C,  B   D – монотонність;

S( A,  B) = S( B,  A) – комутативність;
S( A, S( B,  C)) = S(S( A,  B),  C) – асоціативність;
Приклади t-конорм:
max( A,  B)
 A +  B –  A   B
min (1,  A +  B).
T-норма може розглядатися як узагальнений оператор AND, а S-норма –
як узагальнений оператор OR.

10.1.4 Алгебраїчні операції над нечіткими множинами

Алгебраїчний добуток A і B позначається A  B і визначається так:
x  E  AB(x) =  A(x)  B(x).
Алгебраїчна сума цих множин позначається А+В і визначається так:
x  E  A+B(x) =  A(x) +  B(x) –  A(x)  B(x).
Для операцій {, +} виконуються властивості:

АВ = ВА, А + В = В + А – комутативність;
(АВ)С = А(ВС), (А + В) + С = А + (В + С) – асоціативність;
A = , A + = A, AE = A, A+E = E
A B  A B , A B  A B – теореми де Моргана.
Не виконуються:
АА = А, А+А = А – ідемпотентність;
А(В + С) = (АВ) + (АС), А + (ВС) = (А + В)  (А + С) – дистрибутивність;

а також A A   , A A  E .
Для прикладу доведемо, що властивість дистрибутивності не

94