Page 67 - 5637

… + [ ( − 1), ( − 1)]} = min{ [ (0), (0)]} +
( )

+ min … min { [ (1), (1)] + … + [ ( − 1), ( − 1)]} =
( ) ( )
= min{ [ (0), (0)] + [ (1)]}.
( )

Тут [ (1)] – мінімальне значення критерію якості для процесу тривалістю в − 1

кроків і що має початковий стан (1):

[ (1)] = min{ [ (1), (1)] + [ (2)]},
( )
Для процесу управління з − кроками, що має як початковий стан

( + 1)(1 ≤ ≤ − 1)

[ ( )] = min [ ( ), ( )] + [ ( + 1)] .
( )
Останнє співвідношення є дискретним варіантом рівняння Беллмана (4.8).

Як приклад розглянемо рішення задачі про оптимальний вибір висоти і швидкості

літальним апаратом [23, 24].

Хай в початковий момент часу літальний апарат знаходиться на висоті і має

швидкість . Треба перекласти його на висоту > , отримавши при цьому
к

швидкість > . Відома витрата горючого для підйому апарату з однієї висоти на

к
іншу при заданій постійній швидкості і витрата пального для збільшення швидкості
при постійній висоті польоту. Потрібно знайти оптимальний режим набору висоти і

збільшення швидкості, при якому витрата пального буде найменшим.

Передбачимо, що процес набору висоти і швидкості складається з декількох

кроків, на кожному літальний апарат збільшує або лише висоту, або лише швидкість.

Таким чином, стан літального апарату визначається висотою і швидкістю . Фазова

траєкторія, що переводить точку , що змальовує літальний апарат, на фазовій

плоскості ( , ) з положення = ( , ), в положення = ( , ) в даному

к
к
к

випадку є деякою ламаною.
Розіб'ємо приріст висоти ( − ) на рівних частин з кроком
к

⁄
∆ = ( − ) приріст швидкості ( − ). На рівних частин з кроком
к

к

⁄
∆ = ( − ) . Тоді весь процес набору висоти і швидкості складатиметься з
к

= + кроків. Точка з в може переміщатися по горизонтальних і

к

вертикальних відрізках. Кожній траєкторії, що переводить точку з в , відповідає
к

своя витрата пального .