Page 62 - 5637

к

( ) = ( , , ) .

Передбачимо, що ( ) – це частково-безперервна вектор-функція, значення якої

належать замкнутій обмеженій безлічі. Введемо додаткову координату за

допомогою співвідношення ⁄ = ( , , ). Тепер система складена з + 1

рівняння і має стільки ж змінних, причому ( , , ) = ( , , ). Необхідно знайти

таке рішення, щоб додаткова координата ( ) = . В мала найменше значення, а

к
останні координати задовольняли умовам (4.4) (4.5).

Розглянемо новий вектор , компоненти якого , , … , задовольняють

зв'язаній системі рівнянь

( , , )

= , = 0, … , . (4.6)

Введемо нелінійну функцію = ( , , ) - функцію Гамільтона (або

гамільтоніан) системи — таким чином:

I

= ( , , ). (4.7)

Введення такої функції дозволяє отримати гамільтонову систему рівнянь

= , = − , = 0, 1, … , . (4.8)

∗
Теорема 4.1. (теорема Понтрягіна). Щоб допустиме управління ( )було
оптимальним, необхідне існування такої ненульової безперервної вектор-функції ( ),

відповідною функціям ( ) і ( ), щоб:

1) при будь-якому ( ≤ ≤ ) функція ( , , ) досягала в точці

к
∗
( )максимуму;
2) в кінцевій точці виконувалися співвідношення ( ) ≤ 0,

к
к
[ ( ), ( )] = sup ( , , ) = 0.
к
к
∈
Сформульована теорема дозволяє побудувати ефективну схему алгоритму, що

реалізовує принцип максимуму.