Page 61 - 5637

( ) − (0) = [ ⋮ ⋮. . . ⋮ ][ (0), … , ( − 1)].

Останнє матричне рівняння має єдине вирішення [ (0), … , ( − 1)] тоді, і лише
тоді, коли матриця [ ⋮. . . ⋮ ] має ранг при = . Це і є умова керованості для

дискретної динамічної системи.

Аналогічні умови керованості і для безперервних динамічних систем. Розглянемо,

наприклад, лінійну систему

= ( ) + ( ) ,

де ( ) і ( ) – відомі матричні функції часу. Якщо через ( , ) позначити відповідну

фундаментальну матрицю, то рішення системи можна записати у вигляді

( ) = ( , ) ( ) + ( , ) ( ) ( )

або

( , ) ( ) = ( ) − ( , ) ( ).

Оскільки вектор справа відомий, ту умову керованості можна вивести з вирішуваної

цього рівняння: для керованості системи необхідно і досить, щоб рядки матриці

( , ) були лінійно незалежні.

4.2. Принцип максимуму в теорії оптимальних систем

Один з найефективніших методів синтезу нелінійних систем управління, відомий

як принцип максимуму, запропонований акад. Л.С. Понтрягиним. Принцип

максимуму визначає необхідні умови оптимальності управління в нелінійних системах

і є, по вираженню акад. Н.Н. Красовського, обчислювальним методом, «широким за

змістом, строго обґрунтованим і зручним формою для додатків». Зупинимося на

основних принципах методу.

Хай динаміка керованого об'єкту описується системою диференціальних рівнянь

= ( , , ), ≤ ≤ , (4.4)

к
причому початкові й кінцеві значення системи задані:

к

( ) = , ( ) = (4.5)

к
( і - і -мірні вектори). Хай також заданий функціонал