Page 155 - 5637

3. Перевіряємо виконання умови ( ) < : якщо воно виконується,

алгоритм закінчує процес пошуку, в іншому випадку обчислюємо = ,

замінюємо на + 1 і переходимо до п. 2.

Формально в алгоритмі бар'єрних функцій формується система обмежень

( ) < 0, … , ( ) < . Ці обмеження неефективні, якщо оптимальне рішення на

кожній ітерації належить області допустимості, B той же час при

застосуванні чисельних методів мінімізації ( ) вихід з області допустимих значень

не виключений, особливо при відносно невеликих значеннях . Таким чином,

процедура безумовної мінімізації функції ( ) на кожній ітерації повинна

підкріплюватися процедурою перевірки допустимості поточного рішення.
Пошук початкової точки пошуку , такий, що ( ) < 0 ( = + 1, … , ), може

бути здійснено, наприклад, за допомогою наступного алгоритму.

1. Вибирається ∈ , = 0.

2. Визначається безліч індексів = { : ( ) < 0). Якщо = = { 1, … , } то

шукана точка знайдена: = , в іншому випадку вибирається , таке, що ∈ та

∈ . Переходимо до п. 3.
3. Вирішується задача мінімізації ( ) при наявності обмежень ( ) < 0

( ∈ ). Нехай – вирішення цього завдання. Якщо ( ) ≥ 0, то безліч

допустимих значень має порожню внутрішність { : ∈ , ( ) < 0, = 1, … , }, в

іншому випадку замінюємо на + 1 і переходимо до п: 2.

Даний алгоритм щонайбільше за ітерацій або знаходить точку, що належить

множині безліч , або встановлює факт відсутності таких точок.

Ha практиці іноді використовуються комбінації методів штрафних та бар'єрних

функцій, які побудовані на основі мінімізації змішаної допоміжної функції вигляду

( ) = ( ) + ( ),

де ( ) – штрафна функція для обмежень-рівностей; ( ) – бар'єрна для обмежених-

нерівностей; , – параметри відповідних штрафів. B ряді завдань такий підхід
дозволяє поліпшити характеристики збіжності алгоритму (докладніше див [60, 64]).

Як приклад використання методу штрафних функцій розглянемо задачу
мінімізації функції трьох змінних