Page 56 - 4974

Відрізок, який дорівнює радіусу кола і проходить через точки K (R ,L ) і
i i
O  ba, , запишеться у вигляді
2 2 2
R  R   a  b  L i  . (4.18)
T
i

Підставивши в рівняння (4.1) значення радіуса кола з рівняння (4.18) і
перетворивши, отримаємо рівняння твірної тора

x 2  z 2  2xa  2zb  R 2  L 2  2aR  2 bL  . 0 (4.19)
i i i i

2 2
Підставивши в рівняння (4.19) замість x вираз x  y і перетворивши,
отримаємо рівняння (4.20) поверхні тора (див. рис. 4.2):

4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2
x  y  z  2x y  2x z  2y z  4b  zx  y z  z   2 x  y 
2
 R i 2  L 2  2aR i  2a 2  2 bL i  2 z 2    Lb i   R i R i  2a 
i
(4.20)
2 2 2 2 2 3 2 2

 4zb R i  L i  2 aR i  2bL i  R i  L i   4R i a  4R i a  bL i 
 4aL R L  b  4 L 3 b  0
i i i i

4.2 Теоретичне обгрунтування форм поверхонь обертання другого
порядку
У часткових випадках, коли вісь твірної кривої другого порядку співпадає з
віссю обертання або твірна – пряма лінія, отримаємо такі можливі поверхні
обертання: еліпсоїд, гіперболоїд, параболоїд, сфера, конус, циліндр.
Еліпсоїд обертання (рис. 4.3) і гіперболоїд обертання.
Рівняння твірної

x 2  L 2  z 2 R i 2  2R i  L i tg i  R 2   Rz 2  R i  L i tg i  R i 2 2L i 
i
(4.21)
 L 2  R 2  0
i

Рівняння поверхні

x 2  L 2  y 2  L 2  z 2 R 2  2R  L tg  R 2 
i i i i i i (4.22)
 z R 2  R i  L i tg i  R i 2 2L i  L 2  R 2  0
i
Вид поверхні визначається за дискримінантом

2
D  L 2 R  2R  L  tg  R 2 .
i i i i i
Якщо D  0– твірна крива лінія – еліпс, якщо D  0 – твірна – гіпербола.
При обертанні цих кривих навколо осі OZ утворюються відповідні поверхні
обертання: еліпсоїд і гіперболоїд.
Для визначення значень кутів нахилу дотичних (проведених у кожній точці
еліпсоїда) до осі поверхні обертання Oz скористаємося частковим випадком
теореми Паскаля.
Вважаємо точки K, K , A , S, A вершинами вписаного в криву 2-го порядку
1 1
п’ятикутника, при цьому вершину K візьмемо за пару збіглих вершин
56