Page 54 - 4974

Розв’язавши систему рівнянь (4.3), тобто розв’язавши визначник 5-го
степеня методом Крамера, дістанемо значення коефіцієнтів рівняння (4.2):

 1 R  tgL   R 
a     i i ;  (4.4)
11   
 tg i tg tg i tg R 1  R i 
2
(R  L tg  R )(R  R )
a  1 1 i i ; (4.5)
22 2
tg i tg L i (R  R i )
1
1 1 ( 2 R  L tg  R)( R  R )
a    1 i i ; (4.6)
12
tg tg tg tg ( R  R L )
i i 1 i i
R R L 2R (R  L tg  ) R
a   i  i  1 i ; (4.7)
13
tg tg tg tg tg tg tg (R  R )
i i i 1 i
R R 2R (R  L tg  R )(R  R )
a  L  i   1 i i ; (4.8)
23 i
tg tg tg tg L (R  R )
i i i 1 i
2
RL RR (R  L tg  R )R
a  i  i  1 i . (4.9)
33
tg tg tg tg tg (R  R )
i i 1 i

Для отримання рівняння тороїдальної поверхні треба підставити в рівняння
2 2
твірної кривої лінії (4.1) замість координати x вираз x  y :

2 4 2 4 2 4 2 2 2 2 2 2
a x  a y  a z  2x z 2a  a a  2 x y a 
11 11 22 12 11 22 11
2
2
2 y 2 z 2 2a 11  a 11 a 22  4 x 2 z 2a 12 a 13  a 11 a 23  2 x 2 2a 13  a 11 a 33  (4.10)
2 2 2 2 2 2
 2y 2a  a a  4 z a  2zy 2a a  a a  a  0
13 11 33 23 12 13 11 23 33

Рівняння (4.10) є рівнянням тороїдальної поверхні, яке містить коефіцієнти
твірної кривої, що визначаються з рівнянь (4.4 – 4.9). Отримана тороїдальна
поверхня (див. рис. 4.1) є поверхнею 4-го порядку.
Частковим (окремим) випадком такої поверхні є тор.
Твірною поверхні тора є коло радіуса R з центром в точці  baO ,  (рис.
T
4.2).
Рівняння твірної має вигляд
2 2 2
x   a  z   b  R , (4.11)
T
де a і b - координати центра кола, що лежить у площині xOz .
Виразимо значення координат центра кола через параметри R , R, L , i ,
i
i
використавши для цього координати точок K (R i , L i ),  ,0С L  R i tg i ,
i
A (R ,O ).
Рівняння відрізка AK

 L  RL
z    i  x  i . (4.12)
 
 R  R i  R  R i

54